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\title{\textbf {2025春计算方法--实验报告 \#4}}
\author{姓名：\underline{~~~~~~~~~~~}  学号：\underline{~~~~~~~~~~~~~~~~~} }
\date{\today}


\begin{document}


\maketitle

运行环境：\underline{~~~~~~~~~~~~}

\section*{实验内容与要求}
    \textbf{线性方程组的迭代法}


    {\color{blue} 实验内容}:考虑线性方程组$\color{blue}{(H + 2.25 I )x = b}$,其中$I$为单位阵,$H$为n阶{\color{blue}Hilbert矩阵},
    \[\color{blue}{H=(h_{ij})_{n\times n}, \qquad  h_{ij}=\frac{1}{i+j-1},\quad i,j=1,2,\cdots,n}\]
    通过先给{\color{blue}定解}, 比如{\color{red}\textbf{取$x$的各个分量为1}}, 再计算出右端向量$\color{blue}b$的办法给出一个精确解已知的问题.

    {\color{blue} 实验要求}：

    (1) 分别编写~Jacobi~迭代法,~Gauss-Seidel~迭代法的一般程序({\color{red}不得使用符号运算})；

    (2) 所有迭代的{\color{red}初始向量均取为$0$向量, 停止条件为$\|x^{(k+1)}-x^{(k)}\|_1<\epsilon \coloneqq 1\times 10^{-5}$或迭代步数超过50万(可视为迭代失败)};

    (3) 用以上二种迭代去求解前述的方程组,
    分别取阶数~{\color{red} n=10,30,100,500,1500,5000(optional)};

    (4) 列表给出\textbf{各自}{\color{blue}数值解}的计算误差(\textbf{\color{red} 1-范数下})以及{\color{blue}迭代步数}; 报告数值实验过程中可能出现的计算问题;

    (5) \textbf{分析并比较以上二种迭代方法, 你能得出什么结论或经验教训．}
    \clearpage


\section{数值结果}

    \textbf {数值解误差及迭代步数}

    \begin{table}[ht]
        \centering
        \begin{tabular}{|c|c|c|c|}
            \hline
            $n$                          & 迭代法           & 迭代步数                & 绝对误差$\|x^{(k)}-x\|_1$\\
            \hline
            \multirow{2}{*}{$n=10$}      & Jacobi          & 21                   & $2.78 \times 10^{-6}$    \\
                                         & Gauss-Seidel    & 8                    & $1.32 \times 10^{-7}$    \\
            \hline
            \multirow{2}{*}{$n=30$}      & Jacobi          & 37                   & $2.79 \times 10^{-6}$    \\
                                         & Gauss-Seidel    & 9                    & $5.78 \times 10^{-7}$    \\
            \hline
            \multirow{2}{*}{$n=100$}     & Jacobi          & 69                   & $3.86 \times 10^{-6}$    \\
                                         & Gauss-Seidel    & 10                   & $1.56 \times 10^{-6}$    \\
            \hline
            \multirow{2}{*}{$n=500$}     & Jacobi          & 214                  & $4.50 \times 10^{-6}$    \\
                                         & Gauss-Seidel    & 12                   & $9.51 \times 10^{-7}$    \\
            \hline
            \multirow{2}{*}{$n=1500$}    & Jacobi          & 1734                 & $4.96 \times 10^{-6}$    \\
                                         & Gauss-Seidel    & 13                   & $1.11 \times 10^{-6}$    \\
            \hline
            \multirow{2}{*}{$n=5000$}    & Jacobi          & 500000               & $\infty$ (发散)          \\
                                         & Gauss-Seidel    & 14                   & $1.32 \times 10^{-6}$    \\
            \hline
        \end{tabular}
        \caption{Jacobi与Gauss-Seidel迭代法的比较}
        \label{tab:tab1}
    \end{table}


\section{算法分析}
    \begin{itemize}
        \item Blah blah blah
        \item Blah blah blah
        \item Blah blah blah
    \end{itemize}


\section{实验小结}
    \textbf{计算过程中可能出现的问题(包括这次实验中的体会，收获或经验教训)}：
    \begin{itemize}
        \item  Blah blah blah,
        \item  Blah blah blah,
    \end{itemize}

    \textbf{比较三种算法的各自优缺点}：
    \begin{itemize}
        \item  Blah blah blah,
        \item  Blah blah blah,
        \item Blah blah blah,
    \end{itemize}


\end{document}


